Question

所有真約數（除本身之外的正約數）的和等于它本身的正整數叫做完全數．
如：6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248．
已經證明：若2ⁿ-1是質數，則2^n-1（2ⁿ-1）是完全數，n∈N^*．請寫出一個四位完全數

 

；又6=2×3，所以6的所有正約數之和可表示為（1+2）•（1+3）；28=2²×7，所以28的所有正約數之和可表示為（1+2+2²）•（1+7）；
按此規(guī)律，496的所有正約數之和可表示為

 

．

Answer 1

分析：利用2ⁿ-1是質數，2^n-1（2ⁿ-1）是完全數，令n=7，可得結論；由496=2⁴×31，可得496的所有正約數之和．

解答：解：∵2ⁿ-1是質數，2^n-1（2ⁿ-1）是完全數，
∴令n=7，可得一個四位完全數為64×（127-1）=8128；
∵496=2⁴×31，∴496的所有正約數之和可表示為（1+2+2²+2³+2⁴）•（1+31）．
故答案為：8128；（1+2+2²+2³+2⁴）•（1+31）．

點評：本題考查合情推理，考查學生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關鍵．