Question

【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）用定義證明在上是減函數(shù)；

（3）若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）由定義域?yàn)?/span>，且利用奇函數(shù)的性質(zhì)，再找一組互為相反數(shù)代入得到另外一個(gè)方程，解出的值；（2）用定義設(shè)，然后計(jì)算的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)單調(diào)性；（3）若，根據(jù)是單調(diào)遞減的奇函數(shù)，進(jìn)行移項(xiàng)變形，列出和的不等式，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的取值范圍。

（1）∵是上的奇函數(shù)，所以.故，可得.

又，解得.

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)且時(shí)，，滿足是上的奇函數(shù).

（2）由（1）得.任取實(shí)數(shù)，且，

則.

∵，∴，且∴，即，

∴函數(shù)在上是減函數(shù).

（3）由（1）和（2）知，不等式恒成立，

即恒成立，

故對(duì)任意的恒成立，

即對(duì)任意的恒成立.

令，易知當(dāng)時(shí)，取得最大值8，∴

故實(shí)數(shù)的取值范圍是