Question

【題目】如圖，三棱柱中，平面，，,點在線段上，且,.

（1）試用空間向量證明直線與平面不平行；

（2）設平面與平面所成的銳二面角為，若，求的長；

（3）在（2）的條件下，設平面平面，求直線與平面的所成角.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

可建立空間直角坐標系，設，，，，，，

（1）由平面可知，0，，為平面的一個法向量，，即可判定；

（2）求出平面的法向量，利用平面與平面所成的銳二面角為，，建立方程，即可求得結論．

（3）在（2）的條件下，求出直線的方向向量，平面的一個法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解：依題意建立如圖所示的空間直角坐標系,

設，則，，，，，，

（1）證明：由平面，知為平面的一個法向量，

所以

即直線與平面不平行

（2）平面的法向量，則

取，則，故

所以

解得

（3）在平面內，分別延長，交于點，連接，則直線是平面與平面交線，

，

,

,

設直線與平面的所成的角是，則為平面的一個法向量，

直線與平面的所成角為．