Question

在△ABC中，若（a+b+c）（a-b+c）=3ac，且tanA+tanC=3+

3

，AB邊上的高為4

3

，求角A，B，C的大小與邊a，b，c的長．

Answer 1

分析：利用余弦定理，結(jié)合（a+b+c）（a-b+c）=3ac可求B，利用和角的正切公式，結(jié)合tanA+tanC=3+

3

可求A、C，再利用正弦定理求邊．

解答：解：（a+b+c）（a-b+c）=3ac，a²+c²-b²=ac，cosB=

1

2

，B=600
tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanAtanC

，-

3

=

3+ 3

1-tanAtanC

，tanAtanC=2+

3

，聯(lián)合tanA+tanC=3+

3

得

tanA=2+ 3 tanC=1

或

tanA=1 tanC=2+ 3

，即

A=750 C=450

或

A=450 C=750

當(dāng)A=75°，C=45°時(shí)，b=

4 3

sinA

=4(3

2

-

6

)，c=8(

3

-1），a=8
當(dāng)A=45°，C=75°時(shí)，b=

4 3

sinA

=4

6

，c=4(

3

+1），a=8
∴當(dāng)A=75°，B=60°，C=45°時(shí)，a=8，b=4（3

2

-

6

)，c=8(

3

-1），
當(dāng)A=45°，B=60°，C=75°時(shí)，a=8，b=4

6

，c=4(

3

+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用正弦、余弦定理解決三角形問題，正確利用公式是關(guān)鍵．