Question

17．已知圓C：（x-a）²+（y-a）²=2a²（a＞0）及其外一點A（0，2）．若圓C上存在點T滿足∠CAT=$\frac{π}{4}$，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． $[\sqrt{3}-1，1）$
• C． $[\sqrt{3}-1，1]$
• D． $[\sqrt{3}-1，+∞）$

Answer 1

分析 化標準方程易得圓的圓心為M（a，a），半徑r=$\sqrt{2}$|a|，由題意可得1≥$\frac{TM}{AM}$≥sin∠MAT，由距離公式可得a的不等式，解不等式可得．

解答 解：化圓的方程為標準方程可得（x-a）²+（y-a）²=2a²，
∴圓的圓心為M（a，a），半徑r=$\sqrt{2}$|a|，
∴AM=$\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}$，TM=$\sqrt{2}$|a|，
∵AM和TM長度固定，
∴當T為切點時，∠MAT最大，
∵圓M上存在點T使得∠MAT=45°，
∴若最大角度大于45°，則圓M上存在點T使得∠MAT=45°，
∴$\frac{TM}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}|a|}{\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}}$≥sin∠MAT=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
整理可得a²+2a-2≥0，解得a≥$\sqrt{3}$-1或a≤-$\sqrt{3}-1$，
又$\frac{TM}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}|a|}{\sqrt{{a}^{2}+（a-2）^{2}}}$≤1，解得a≤1，
又點 A（0，2）為圓M：x²+y²-2ax-2ay=0外一點，
∴0²+2²-4a＞0，解得a＜1
∵a＞0，∴$\sqrt{3}-1$≤a＜1．
故選：B．

點評 本題考查圓的一般式方程和圓的性質，涉及距離公式的應用，屬中檔題．