Question

已知(

3

x2

+3x2)n展開式中各項的系數之和比各項的二項式系數之和大992．
（Ⅰ）求展開式中二項式系數最大的項；    （Ⅱ）求展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：令x=1可得，展開式的各項系數之和為4ⁿ，而展開式的二項式系數之和為2ⁿ，從而可求n得值，及通項
（Ⅰ）由上可得，n=5時，展開式有6項，則展開式中二項式系數最大的項是第3，4項，代入通項可求
（Ⅱ）假設第k+1項最大，則

3k C k 5 ≥3k-1 C k-1 5 3k C k 5 ≥3k+1 C k+1 5

解出k得范圍，結合k∈N^*可求

解答：解：由題意在(

3	x2

+3x2)n中，令x=1可得，展開式的各項系數之和為（1+3×1）ⁿ=4ⁿ
又∵展開式的二項式系數之和為2ⁿ
∴4ⁿ-2ⁿ=992
∴n=5，Tr+1=

C

r 5

(x

2

3

)5-r(3x2)r=3r

C

r 5

x

10+4r

3

，…（3分）
（Ⅰ）當n=5時，展開式有6項，則展開式中二項式系數最大的項是第3，4項，
T3=32

C

2 5

x

18

3

=90x6，
T4=33

C

3 5

x

22

3

=270x

22

3

；…（6分）
（Ⅱ）假設第k+1項最大，則

3k C k 5 ≥3k-1 C k-1 5 3k C k 5 ≥3k+1 C k+1 5

解得3.5≤k≤4.5，
∵k∈N^*
∴k=4，
∴T5=34

C

4 5

x

26

3

=405x

26

3

為所求的系數最大的項．…（10分）

點評：本題主要考查了利用賦值法求解二項展開式的各項系數之和及展開式的二項式系數和的應用，二項展開式的通項的應用，屬于基本知識的綜合應用．