Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），

c

=（

3

，-1），其中x∈R．
（I）當

a

⊥

b

時，求x值的集合；
（Ⅱ）求|

a

-

c

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據數量積是否為零判斷兩個平面向量的垂直關系，建立等量關系，求出x即可；
（2）求向量的模時一般的處理方法是先計算模的平方，即利用|

a

|2=(

a

)2得到一個三角函數，求出其最大值即可．

解答：解：（I）由

a

⊥

b

?

a

•

b

=0，（2分）
即cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=0，得cos2x=0，（5分）
則2x=kπ+

π

2

（k∈Z），∴x=

kπ

2

+

π

4

（k∈Z），
∴當

a

⊥

b

時，x值的集合為{x|x=

kπ

2

+

π

4

（k∈Z）}；（7分）
（Ⅱ）|

a

-

c

|²=（

a

-

c

）²=

a

²-2

a

c

+

c

²=|

a

|²-2

a

c

+|

c

|²，（9分）
又|

a

|²=（cos

3x

2

）²+（sin

3x

2

）²=1，|

c

|²=（

3

）²+（-1）²=4，

a

•

c

=

3

cos

3x

2

-sin

3x

2

=2（

3

2

cos

3x

2

-

1

2

sin

3x

2

）=2cos（

3x

2

+

π

6

），
∴|

a

-

c

|²=1-4cos（

3x

2

+

π

6

）+4=5-4cos（

3x

2

+

π

6

），（13分）
∴|

a

-

c

|²max=9，∴|

a

-

c

|max=3，
即|

a

-

c

|的最大值為3．（15分）

點評：本題主要考查了數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，以及向量的模和兩角和與差的余弦函數，屬于基礎題．