Question

如圖所示的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，過頂點B、D、C₁作截面，則二面角B-DC₁-C的平面角的余弦值是

3

3

．

Answer 1

分析：以A為坐標原點，AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系，根據正方體的幾何特征，分別求出平面DC₁C的一個法向量和平面BDC₁的一個法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：解：以A為坐標原點，AB，AD，AA₁分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標系
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a
則由正方體的幾何特征可得

AD

=（0，a，0）是平面DC₁C的一個法向量；
設平面BDC₁的法向量為

m

=（x，y，z）
由

BD

=（-a，a，0），

BC1

=（0，a，a），

m

⊥

BD

，

m

⊥

BD

得

-ax+ay=0 ay+az=0

令x=1，則

m

=（1，1，-1）為平面BDC₁的一個法向量
設二面角B-DC₁-C的平面角為θ
則cosθ=

| AD • m |

| AD |•| m |

=

a

a• 3

=

3

3

故答案為：

3

3

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題是解答的關鍵．