Question

【題目】設函數 的定義域為 ，如果 ， ，使 （ 為常數）成立，則稱函數 在 上的均值為 ．給出下列四個函數：① ；② ；③ ；④ ．則其中滿足在其定義域上均值為2的函數是 ．

Answer 1

【答案】③
【解析】原問題等價于對于任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使f(x1)+f(x2)=4成立的函數。
①y=x2,由f(x1)+f(x2)=4得 ,此時 ,當 時,不存在滿足題意的 ，故不滿足條件；
②y=2x定義域為R,值域為y>0.對于x1=3,f(x1)=8.要使f(x1)+f(x2)=4成立,則f(x2)=4，不成立；
③y=lnx,定義域為x>0,值域為R且單調,由f(x1)+f(x2)=4得 ,此時 ,不存在滿足題意的 ，故滿足條件；
④ ,由f(x1)+f(x2)=4得 ,此時 ,當 時,不存在滿足題意的 ，故不滿足條件；綜上可得：滿足在其定義域上均值為2的函數是③.
根據二次函數、指數函數、對數函數以及正弦型函數的圖像和性質逐一判斷即可得出結論。