Question

(本題滿分16分)

已知曲線E：ax²＋by²＝1（a＞0，b＞0），經過點M（，0）的直線l與曲線E交

于點A、B，且→＝－2→．

（1）若點B的坐標為（0，2），求曲線E的方程；

（2）若a＝b＝1，求直線AB的方程．

Answer 1

解：

設A(x₀，y₀)，因為B(0，2)，M(，0)

  故→＝(－，2)，→＝(x₀－，y₀)．  ……………………………………2分

因為→＝－2→，所以(－，2)＝－2(x₀－，y₀)．

所以x₀＝，y₀＝－1．即A(，－1)．    ……………………………………4分

因為A，B都在曲線E上，所以解得a＝1，b＝．

所以曲線E的方程為x²＋＝1．           ……………………………………6分

（2）（法一）當a＝b＝1時，曲線E為圓：x²＋y²＝1．設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

因為→＝－2→，所以(x₂－，y₂) ＝－2(x₁－，y₁)，即

設線段AB的中點為T，則點T的坐標為(，)，即(，－)．

所以((OT＝(，－)，((AB＝(x₂－x₁，y₂－y₁)＝(－3x₁，－3y₁)．

因為OT⊥AB，所以((OT×((AB＝0，即3－4x₁＋3x＋3y＝0．

因為x＋y＝1，所以x₁＝，y₁＝±．

當點A的坐標為(，－)時，對應的點B的坐標為(0，1)，此時直線AB的斜率

k＝－，所求直線AB的方程為y＝－x＋1；

當點A的坐標為(，)時，對應的點B的坐標為(0，－1)，此時直線AB的斜率k＝，

所求直線AB的方程為y＝x－1．          ……………………………………16分

（法二）當a＝b＝1時，曲線E為圓：x²＋y²＝1．設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

因為→＝－2→，所以(x₂－，y₂) ＝－2(x₁－，y₁)，即

因為點A，B在圓上，所以 

由①×4－②，得(2x₁＋x₂)(2x₁－x₂)＝3．所以2x₁－x₂＝，解得x₁＝，x₂＝0．

由x₁＝，得y₁＝±．（以下同方法一）

（法三）如圖，設AB中點為T．

則TM＝TA－MA＝AB，OM＝．

根據Rt△OTA和Rt△OTM，得

即解得AB＝，OT＝．所以在Rt△OTM中，tanÐOMT＝＝．

所以k_AB＝－或．所以直線AB的方程為y＝－x＋1或y＝x－1．