Question

8．設拋物線y²=2px（x＞0）的焦點為F，點A（0，$\sqrt{2}$），線段FA的中點在拋物線上，設動直線l：y=kx+m與拋物線相切于點P，且與拋物線的準線相交于點Q，以PQ為直徑的圓記為圓C．
（1）求p的值；
（2）證明：圓C與x軸必有公共點．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y²=2px，焦點F（$\frac{p}{2}$，0），線段FA的中點坐標為（$\frac{p}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），代入即可求得p的值；
（2）將直線方程代入拋物線方程，由直線和拋物線相切求得切點坐標，進一步求得Q的坐標（用含k的代數式表示），求得PQ的中點C的坐標，求出圓心到x軸的距離，求出（$\frac{1}{2}$丨PQ丨）²，由半徑的平方與圓心到x軸的距離的平方差的符號判斷圓C與x軸的位置關系．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（x＞0），焦點F（$\frac{p}{2}$，0），
故線段FA的中點坐標為（$\frac{p}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
代入方程2p×$\frac{p}{4}$=$\frac{1}{2}$，解得：p=1，
（2）由（1）可得拋物線方程為y²=2x，從而拋物線的準線方程為x=-$\frac{1}{2}$，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，整理得：$\frac{k}{2}{y}^{2}-y+m=0$，
由直線與拋物線相切，可知：$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{m=\frac{1}{2k}}\end{array}\right.$，
且y=$\frac{1}{k}$，從而x=$\frac{1}{2{k}^{2}}$，即P（$\frac{1}{2{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2k}}\\{x=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：Q（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1-{k}^{2}}{2k}$），
∴PQ的中點C的坐標為C（$\frac{1-{k}^{2}}{2k}$，$\frac{3-{k}^{2}}{4k}$），圓心C到x的距離d²=（$\frac{3-{k}^{2}}{4k}$）²，
丨PQ丨²=（$\frac{1+{k}^{2}}{2{k}^{2}}$）²+（$\frac{1+{k}^{2}}{2k}$）²，
∴（$\frac{1}{2}$丨PQ丨）²-d²=$\frac{1}{4}$[（$\frac{1+{k}^{2}}{2{k}^{2}}$）²+（$\frac{1+{k}^{2}}{2k}$）²]-（$\frac{3-{k}^{2}}{4k}$）²=（$\frac{3{k}^{2}-1}{4{k}^{2}}$）²≥0
∴圓C與x軸必有公共點．

點評 本題主要考查拋物線的定義和直線與橢圓的位置關系，解決此類問題必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考常見題型，屬于中檔題．