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20.已知命題p:函數(shù)f(x)=x2+ax-2在[-2,2]內(nèi)有且僅有一個零點.命題q:x2+ax+2≤0在區(qū)間[1,2]內(nèi)有解.若命題“p且q”是假命題,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 命題p:函數(shù)f(x)=x2+ax-2在[-2,2]內(nèi)有且僅有一個零點.△>0,可得f(-2)f(2)≤0,解得a范圍.命題q:x2+ax+2≤0在區(qū)間[1,2]內(nèi)有解,可得a≤$[-(x+\frac{2}{x})]_{min}$.由命題“p且q”是假命題,可得p與q都是假命題.即可得出.

解答 解:命題p:函數(shù)f(x)=x2+ax-2在[-2,2]內(nèi)有且僅有一個零點.
△=a2+8>0,∴f(-2)f(2)=(2-2a)(2+2a)≤0,解得a≥1,或a≤-1.
命題q:x2+ax+2≤0在區(qū)間[1,2]內(nèi)有解,∴a≤$[-(x+\frac{2}{x})]_{min}$=-3.
∵命題“p且q”是假命題,∴p與q都是假命題.
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1<a<1}\\{a>-3}\end{array}\right.$,解得-1<a<1.
∴實數(shù)a的取值范圍是(-1,1).

點評 本題考查了不等式的解法、函數(shù)的性質(zhì)、方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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