Question

【題目】已知.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：對于任意的成立.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；（2）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先求出函數(shù)的定義域，然后求出其導(dǎo)函數(shù)，并對a進(jìn)行分類討論：，，，，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)大于0和小于0所對應(yīng)的自變量的取值范圍，進(jìn)而得出所求的結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，則，然后分別求出，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可得出函數(shù)的最小值，最后結(jié)合已知得出所求的結(jié)果即可.

試題解析：（1）解：的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，.①時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；②時(shí)，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增；③時(shí)，，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，時(shí)，

，設(shè)則

由可得，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號

又，設(shè)，則在單調(diào)遞減，

使得，

在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，即對于任意的成立.