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【題目】已知橢圓的兩個焦點分別為，，以橢圓短軸為直徑的圓經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，設直線的斜率分別為，問是否為定值？并證明你的結論.

【答案】（1）;（2）為定值2.

【解析】

試題分析：（1）由以橢圓短軸為直徑的圓經過點可得，由焦點坐標得，所以，從而可求出橢圓方程；（2）當直線的斜率不存在時,求出點的坐標，可求得；當當直線的斜率存在時，設直線的方程為,代入橢圓方程得,則，，計算的值即可.

試題解析：（1）由已知得：，由已知易得，解得，則橢圓的方程為.

（2）①當直線的斜率不存在時，由，解得，設，.

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，將代入整理化簡，得

，

依題意，直線與橢圓必相交于兩點，設，則，，

又，，

所以

綜上得：為定值2.

（說明：若假設直線為，按相應步驟給分）

練習冊系列答案
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（2）若時，關于的方程有唯一解，求的值；

（3）當時，證明: 對一切，都有成立．

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（2）當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，利潤又是多少元？（工廠售出一個零件的利潤=實際出廠單價-成本）

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