Question

設(shè)f₁（x）=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

，則a₂₀₁₁=

(

1

2

)2012

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知可得an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2 fn(0)

=-

1

2

an，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a_n，進(jìn)而可求

解答：解：∵f₁（0）=2，a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

∴f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

∴an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2 fn(0)

=-

1

2

an
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

4

為首項(xiàng)，以-

1

2

為公比的等比數(shù)列
∴an=

1

4

•(-

1

2

)n-1
∴a2011=

1

4

•(-

1

2

)2010=(

1

2

)2012
故答案為：(

1

2

)2012

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，具有一定的綜合性