Question

設f₁（x）=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，則a₂₀₁₃=（　　）

• A．(

  1

  2

  )2012
• B．(

  1

  2

  )2013
• C．(

  1

  2

  )2014
• D．(

  1

  2

  )2015

Answer 1

分析：由函數的知識結合等比數列的定義可得：數列{a_n}為公比為-

1

2

，首項為

1

4

的等比數列，由等比數列的通項公式可得答案．

解答：解：由題意可得f₁（0）=

2

1+0

=2，
a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

2-1

2+2

=

1

4

，
由因為f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
所以an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

f1[fn(0)]-1

f1[fn(0)]+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

•

fn(0)-1

fn(0)+2

=-

1

2

an，
故數列{a_n}為公比為-

1

2

的等比數列，
故a₂₀₁₃=a₁×(-

1

2

)2012=

1

4

×(-

1

2

)2012=(

1

2

)2014
故選C

點評：本題考查等比數列的通項公式，涉及函數的應用，屬基礎題．