Question

（2004•河西區一模）設f₁（x）=

2

1+x

，若f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+2na_2n，Q_n=

4n2+n

36n2+36n+9

．其中n∈N*，試比較T_2n與Q_n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用遞推式即可化為等比數列，利用其通項公式即可得出；
（II）利用“錯位相減法”即可得出T_2n，通過作差，只要比較2²ⁿ與（2n+1）²的大小，當n≤3時，直接比較，當n＞4時，利用二項式定理展開放縮即可．

解答：解：（I）f1(0)=2，a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

，

fn+1(0)=f1[fn(0)]= 2 1+fn(0) ， an+1= fn+1(0)-1 fn+1(0)+2 = 1-fn(0) 4+2fn(0) =- 1 2 • fn(0)-1 fn(0)+2 =- 1 2 an，(3分)

∴{an}是首項為

1

4

，公比為-

1

2

的等比數列（4分）
∴{a_n}的通項公式是an=

1

4

•(-

1

2

)n-1，n∈N*．  （5分）
（II）∵T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+（2n-1）a_2n-1+2na_2n，
∴-

1

2

T2n=a2+3a3+…+(2n-1)a2n-na2n，（6分）
兩式相減得

3

2

T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n．
∴

3

2

T2n=

1 4 [1-(- 1 2 )2n]

1+ 1 2

+n•

1

4

•(-

1

2

)2n-1=

1

6

-

1

6

(-

1

2

)2n+

n

4

•(-

1

2

)2n-1，
∴T2n=

1

9

(1-

3n+1

22n

)，（8分）
又Qn=

n(4n+1)

9(2n+1)2

，
∴

T2n-Qn= 3n+1 9•(2n+1)2 - 3n+1 9•22n = 3n+1 9 [ 1 (2n+1)2 - 1 22n ] = 3n+1 9 • 22n-(2n+1)2 22n(2n+1)2

（9分）
∵n∈N*，∴只要比較2²ⁿ與（2n+1）²大小．
當n=1時，2²ⁿ-（2n+1）²=-5＜0，即T₂＜Q₁（10分）
當n=2時，2²ⁿ-（2n+1）²=-7＜0，即T₄＜Q₂（11分）
當n≥3時，22n＜[(1+1)n]2=(

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

)2＞[1+n+

n(n-1)

2

]2≥(1+n+n)2=(2n+1)2（13分）
∴T_2n＞Q_n
故n=1或2時，T_2n＜Q_n，n≥3時，T_2n＞Q_n．  （14分）

點評：熟練掌握等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、“作差法”、通過二項式定理放縮比較大小等是解題的關鍵．