Question

在區間[1，5]和[2，4]分別取一個數，記為a，b，則方程

x2

a2

+

y2

b2

=1表示焦點在x軸上且離心率小于

3

2

的橢圓的概率為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  15

  32

• C．

  17

  32

• D．

  31

  32

Answer 1

分析：表示焦點在x軸上且離心率小于

3

2

的橢圓時，（a，b）點對應的平面圖形的面積大小和區間[1，5]和[2，4]分別各取一個數（a，b）點對應的平面圖形的面積大小，并將他們一齊代入幾何概型計算公式進行求解．

解答：解：∵

x2

a2

+

y2

b2

=1表示焦點在x軸上且離心率小于

3

2

，
∴a＞b＞0，a＜2b
它對應的平面區域如圖中陰影部分所示：
則方程

x2

a2

+

y2

b2

=1表示焦點在x軸上且離心率小于

3

2

的橢圓的概率為
P=

S陰影

S矩形

=

1 2 × 1 2 ×1

2×4

1 2 ×(1+3)×2- 1 2 × 1 2 ×1

2×4

=

15

32

，
故選B．

點評：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關．