Question

（2013•淄博一模）在區間[1，5]和[2，6]內分別取一個數，記為a和b，則方程

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＜b）表示離心率小于

5

的雙曲線的概率為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  15

  32

• C．

  17

  32

• D．

  31

  32

Answer 1

分析：當方程

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＜b）表示焦點在x軸上且離心率小于

5

的雙曲線時，計算出（a，b）點對應的平面圖形的面積大小和區間[1，5]和[2，6]分別各取一個數（a，b）點對應的平面圖形的面積大小，并將他們一齊代入幾何概型計算公式進行求解即可．

解答：解：∵方程

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＜b）表示離心率小于

5

的雙曲線，
∴

a2+b2

a

＜

5

，
∴2a＞b，
∴b＞a＞0，2a＞b．
它對應的平面區域如圖中陰影部分所示：
則方程

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＜b）表示離心率小于

5

的雙曲線的概率為：
P=

S陰影

S矩形

=

4×4- 1 2 ×4×2- 1 2 ×3×3

4×4

=

15

32

，
故選B．

點評：幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關．