Question

已知數列{a_n+1}滿足a_n+1=2a_n-1且n，數列{b_n}的前n項和為S_n．
（1）求數列{a_n}的通項a_n； （2）求S_n；
（3）設f（x）=（x-2ⁿ+1）ln（x-2ⁿ+1）-x（n∈N^*），求證：f（x）≥．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=2a_n-1得a_n+1-1=2（a_n-1），且a₁-1=2，∴數列{a_n-1}是以2為首項，2為公比的等比數列，a_n-1=2•2^n-1，∴a_n=2ⁿ+1．
（2）由（1）知a_n=2ⁿ+1，∴，．
（3）證明：，
當x=2ⁿ時，f'（x）=0；x＞2ⁿ時f'（x）＞0，f（x）在（2ⁿ，+∞）上遞增；2ⁿ-1＜x＜2ⁿ時，∴f（x）≥成立．
分析：（1）由a_n+1=2a_n-1得a_n+1-1=2（a_n-1），且a₁-1=2由此能求出a_n．
（2）由a_n=2ⁿ+1，知，由此能夠求出S_n．
（3）由，知當x=2ⁿ時，f'（x）=0；x＞2ⁿ時，f'（x）＞0，由此能夠證明f（x）≥成立．
點評：本題考查數列的通項公式的求法、數列前n項和的解法和數列與不等式的綜合運用，解題時要注意迭代法、錯位相減法和導數的合理運用．