Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且Sn=

2

3

an+1（n∈N^*）；
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{n|a_n|}的前n項和為T_n，求數列{T_n}的通項公式、

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根據a_n和S_n的關系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數列的通項公式即可，要驗證n=1時通項是否成立；
（Ⅱ）由n|a_n|=3n•2^n-1對數列{n|a_n|}用錯位相減法求和即可得數列{T_n}的通項公式．

解答：解：（Ⅰ）a₁=3，當n≥2時，Sn-1=

2

3

an-1+1，
∴n≥2時，an=Sn-Sn-1=

2

3

an-

2

3

an-1，
∴n≥2時，

an

an-1

=-2
∴數列a_n是首項為a₁=3，公比為q=-2的等比數列，
∴a_n=3•（-2）^n-1，n∈N^*
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n|a_n|=3n•2^n-1．
∴T_n=3（1+2•2¹+3•2²+4•2³++n•2^n-1）
2T_n=3（1•2¹+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ）
∴-T_n=3（1+2+2²+2³++2^n-1-n•2ⁿ）
∴-Tn=3[

1-2n

1-2

-n•2n]
∴T_n=3+3n•2ⁿ-3•2ⁿ

點評：本題第一問考查了已知前n項和為S_n求數列{a_n}的通項公式，根據a_n和S_n的關系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數列的通項公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗證n=1時通項是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，則通項公式為分段函數．