Question

已知數列{a_n}中，a₁=-60，a_n+1=3a_n+2，
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）因為數列{a_n}不是特殊的數列，所以可用構造法，構造一個新數列，使其具有一定的規律．通過觀察，可以發現，a_n+1+1=3（a_n+1）所以可設b_n=a_n+1，，則b_n+1=a_n+1+1，即：b_n+1=3b_n，則新數列為等比數列，求出新數列的通項公式，再根據新數列的通項公式求數列{a_n}的通項公式．
（2）由（1）中所求數列{a_n}的通項公式，可以用分組求和來求數列{a_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）由a_n+1=3a_n+2，得：a_n+1+1=3（a_n+1）
設b_n=a_n+1，，則b_n+1=a_n+1+1，即：b_n+1=3b_n，
所以數列{b_n}是首項b₁=a₁+1=-60+1=-59，公比q=3的等比數列∴b_n=b₁•q^n-1=-59•3^n-1又b_n=a_n+1，∴a_n=-59•3^n-1-1
（2）數列{a_n}的通項公式a_n=-59•3^n-1-1，則

Sn=a1+a2+a3+…+an =(-59•30-1)+(-59•31-1)+(-59•32-1)+…+(-59•3n-1-1)

=-59(1+3+32+…+3n-1)-n =- 59 2 •3n-n+ 59 2

點評：本題考查了構造法求數列的通項公式，以及分組求和．