Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，E為側棱PD的中點．
（Ⅰ）試判斷直線PB與平面EAC的關系；
（Ⅱ）求證：AE⊥平面PCD；
（Ⅲ）若AD=AB，試求二面角A-PC-D的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由圖形，連接BD交AC于一點O，連接EO，可以看到線面是平行的，下用線面平行的判定定理證明；
（II）證AE與面內兩條相交線垂直即可，由圖形與題設條件知，此兩線易找出；
（III）由圖形，結合（II）的結論，由E作EM垂直PC于M，在直角三角形中角EMA的正切值即為所求．
解答：解：（Ⅰ）PB∥平面EAC．證明如下：
連接BD交AC于點O，連接EO，則O為BD的中點，
又∵E為PD的中點，
∴EO∥PB，
∴PB∥平面EAC（4分）

（Ⅱ）∵CD⊥AD，且側面PAD⊥底面ABCD，
而側面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥側面PAD，
∴CD⊥AE
∵側面PAD是正三角形，E為側棱PD的中點，
∴AE⊥PD，
∴AE⊥平面PCD；（8分）

（Ⅲ）過E作EM⊥PC于M，連接AM，由（2）及三垂線定理知AM⊥PC．
∴∠AME為二面角A-PC-D的平面角，
由正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，
∴PD=AD=AB=DC，
∴在等腰直角三角形DPC中，設AB=a，則AE=a，PC=a，EM=×a．
在Rt△AEM中，tan∠AME===．
即二面角A-PC-D的正切值為．（12分）
點評：考查線面平行、線面垂直的判定定理以及二面角的求法．涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強．