Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ ax2﹣2x（a＜0）
（1）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若a=﹣ 且關(guān)于x的方程f（x）=﹣ x+b在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=﹣ （x＞0）

依題意f'（x）≥0 在x＞0時恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．

則a≤ =在x＞0恒成立，

即a≤[ ﹣1]min x＞0

當x=1時， ﹣1取最小值﹣1

∴a的取值范圍是（﹣∝，﹣1]

（2）解：a=﹣ ，f（x）=﹣ x+b∴

設(shè)g（x）= 則g'（x）= 列表：

X	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，4）
g′（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴g（x）極小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）極大值=g（1）=﹣b﹣ ，

又g（4）=2ln2﹣b﹣2

∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根．

則 ，得ln2﹣2＜b≤﹣

【解析】（1）對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于等于0在x＞0上恒成立即可．（2）將a的值代入整理成方程的形式，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)考慮其圖像與x軸的交點的問題．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)．