Question

已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m（m∈R）是定義在R上的兩個函數，則下列關于f（x），g（x）的四個命題：
①函數f（x）的圖象關于直線x=0對稱；
②關于x的方程f （z）-k=0恰有四個不相等實數根的充要條件是k∈（-1，0）；
③當m=1時，對?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[-1，0]，f（x₁）＜g（x₂）成立；
④若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，則m∈（-1，+∞）．
其中正確的命題有

 

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：畫出函數f（x）=-2|2|x|-1|+1=

4x+3，x＜- 1 2 -4x-1，- 1 2 ≤x≤0 4x-1，0＜x≤ 1 2 -4x+3，x＞ 1 2

的圖象，利用圖象法可判斷①和②，分析指定區間上f（x）與g（x）的值域，進而將存在性問題轉化為最值問題后，可判斷③和④

解答：解：∵函數f（x）=-2|2|x|-1|+1=

4x+3，x＜- 1 2 -4x-1，- 1 2 ≤x≤0 4x-1，0＜x≤ 1 2 -4x+3，x＞ 1 2

的圖象如下圖所示：

故函數f（x）的圖象關于直線x=0對稱，即①正確；
由①中函數圖象可得，若已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m（m∈R）是定義在R上的兩個函數，則下列關于f（x），g（x）的四個命題，即②正確：
當m=1時，g（x）=x²-2|x|+1，
∵x∈[-1，0]時，f（x）_max=f（-

1

2

）=1，
x∈[-1，0]時g（x）=x²-2|x|+1=g（x）=x²+2x+1∈[0，1]，
故x₁=-

1

2

時，不存在x₂∈[-1，0]，使f（x₁）＜g（x₂）成立，故③錯誤；
∵x∈[-1，1]時，f（x）∈[-1，1]，
x∈[-1，1]時g（x）=x²-2|x|+m=g（x）=x²+2x+1+（m-1）∈[m-1，m]，
若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，
則m＞-1，即滿足條件的m的范圍為（-1，+∞），故④錯誤；
故正確的命題有：①②④
故答案為：①②④

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了分段函數的圖象和性質，其中熟練掌握分段函數圖象的畫法，并能將存在性問題轉化為最值問題是解答的關鍵．