Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-（n+1）=2（a_n-1）
（1）是否存在實(shí)數(shù)A，B，使得{a_n+A_n+B}為等比數(shù)列（其中A，B為常數(shù)）；
（2）求數(shù)列{na_n+（n+1）²}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）首先假設(shè)實(shí)數(shù)的存在，進(jìn)一步利用對應(yīng)關(guān)系求出實(shí)數(shù)A和B的值．
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分類法和乘公比錯位相減法求數(shù)列的和．

解答： 解：（1）假設(shè)存在存在實(shí)數(shù)A和B，使得{a_n+An+B}為等比數(shù)列（其中A，B為常數(shù)）；
則：a_n+1+A（n+1）+B=2（a_n+An+B）
化簡得：
a_n+1=2a_n+An+B-A與a_n+1-（n+1）=2（a_n-1）相比較得到：
A=1，B=0
所以：存在實(shí)數(shù)A=1，B=0，使得{a_n+An+B}為等比數(shù)列．
（2）由（1）得：數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列
所以：an+n=2•2n-1
整理得：an=2n-n
（2）由（1）得：an=2n-n
所以：nan+(n+1)2=n•2n+2n+1
Sn=1•21+2•22+…+n•2n+2（1+2+…+n）+（1+1+…+1）
設(shè)：Tn=1•21+2•22+…+n•2n①
則：2Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1②
①-②得：Tn=(n-2)•2n+1+2
所以：Sn=(n-2)•2n+1+2+2(

n2+n

2

)+n
整理得：Sn=(n-2)•2n+1+n2+2n+2

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：存在性問題的應(yīng)用，利用分類法和乘公比錯位相減法求數(shù)列的和．屬于中等題型．