Question

如圖，在直三棱柱中，D、E分別是BC和的中點，已知AB=AC=AA1=4，?BAC=90?.

（1）求證：⊥平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求三棱錐的體積.

 

Answer 1

(2) (3)8

【解析】

試題分析：

(1)(2)(3)均可利用坐標法,即分別以建立三維空間坐標系.下面重點分析法2

(1)利用勾股定理可以求的線段的長,而要證明面,只需要證明,首先可以三次利用勾股定理把的三條邊長求出,再利用勾股定理證明,線段為等腰直角三角形ABC的三線合一即有,可得到面,進而得到,即可通過線線垂直證明面DAE.

(2)要求二面角的余弦值,需要作出該二面角的平面角,為此過D做DM⊥AE于點M，連接B1M.,根據第一問有面AED且可以得到面,則即為所求二面角的平面角,即該角的余弦值為.利用勾股定理即可得到的長,進而得到二面角的余弦值.

(3)由(1)可得面,則該三棱錐可以以作為底面,高為來求的體積,而AD和三角形的面積都可以用勾股定理求的.

試題解析：

法1:依題意，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz.因為＝4，所以A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），B1（4，0，4）. （1分）

（1），，. （2分）

因為，所以，即. （3分）

因為，所以，即. （4分）

又AD、AE?平面AED，且AD∩AE=A，故⊥平面. （5分）

（2）由（1）知為平面AED的一個法向量. （6分）

設平面 B1AE的法向量為，因為，，

所以由，得，令y=1，得x=2，z=-2.即.（7分）

∴， （8分）

∴二面角的余弦值為. （9分）

（3）由，，得，所以AD⊥DE. （10分）

由，，得. （11分）

由（1）得B1D為三棱錐B1-ADE的高，且， （12分）

所以. （13分）

法2:依題意得，平面ABC，，，

，.

（1）∵，D為BC的中點，∴AD⊥BC.

∵B1B⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴AD⊥B1B.

BC、B1B?平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，所以AD⊥平面B1BCC1.

又B1D?平面B1BCC1，故B1D⊥AD . （2分）

由，，，

得，所以. （4分）

又AD、DE?平面AED，且AD∩DE=E，故⊥平面. （5分）

（2）過D做DM⊥AE于點M，連接B1M.

由B1D⊥平面AED，AE?平面AED，得AE ⊥B1D.

又B1D、DM?平面B1DM，且B1D∩DM=D，故AE⊥平面B1DM.

因為B1M?平面B1DM，所以B1M⊥AE.

故∠B1MD為二面角B1—AE—D的平面角. （7分）

由（1）得，AD⊥平面B1BCC1，又DE?平面B1BCC1，所以AD⊥DE.

在Rt△AED中，， （8分）

在Rt△B1DM中，，

所以，即二面角B1—AE—D的余弦值為. （9分）

（3）由（1）得，AD⊥平面B1BCC1，

所以AD為三棱錐A-B1DE的高，且. （10分）

由（1）得. （11分）

故. （13分）

考點：勾股定理 坐標法 線面垂直 三棱錐體積