Question

橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在軸上，離心率為，以短軸的一個端點與兩焦點為頂點的三角形的面積為．網(1)求橢圓C的方程；(2)若過點存在直線與橢圓C交于相異兩點A，B，滿足：且，求常數的值和實數的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   

解析:

(1)設橢圓的方程為：，由題意知，，且，

解得：，．故橢圓C的方程為：．

(2)由得，，∴，

∴，．當直線與軸不垂直時，設直線的方程為：，

且與橢圓C的交點為，，由得：，

∴，，，由得，

∴，，消去得：，

即，．當時，上式不成立，，∴，代入，即，得恒成立，即，解得，∴或．

當直線與軸垂直時，的方程為：得．綜上所述：的取值范圍為．