Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為e=

3

2

，P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且△PF₁F₂面積的最大值為

3

．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若直線l為圓x2+y2=

4

5

的切線，且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為e=

3

2

，P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且△PF₁F₂面積的最大值為

3

．分別求出a，b的值，即可得到橢圓C的方程；
（II）由直線l為圓x2+y2=

4

5

的切線，分斜率存在和不存在兩種情況，設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），構(gòu)造方程，利用“設(shè)而不求”“聯(lián)立方程”“韋達(dá)定理”，求出滿足條件的點(diǎn)的

OA

•

OB

的表達(dá)式，即可確定

OA

•

OB

的值．

解答：解：（I）設(shè)

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∴

c

a

=

3

2

又

1

2

•2c•b=

3

解得a=2，b=1
∴

x2

4

+y2=1
（II）當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m代入橢圓方程得（1+4k²）x²+8mkx+4m²-4=0△＞0設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∴x1+x2=

-8mk

1+4k2

x1•x2=

4m2-4

1+4k2

∴y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

5m2-4k2-4

1+4k2

又l與圓C相切，
∴

|m|

1+k2

=

2

5

5

?5m2-4k2-4=0
∴

OA

•

OB

=0
當(dāng)l斜率不存在時(shí)，l：x=±

2

5

5

易解得：A(

2

5

5

，

2

5

5

)或A(-

2

5

5

，

2

5

5

)
∴

OA

•

OB

=0
綜上

OA

•

OB

=0

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的關(guān)鍵．