Question

已知集合U=R，集合A={x||x-a|＜2}，f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，設函數g（x）=[f（x）]²+f（x²）的值域為B，
（1）求值域B；  
（2）若A⊆C_UB，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可由x∈[1，9]，f（x）=2+log₃x，求得f（x）∈[1，4]，從而可求得函數g（x）=[f（x）]²+f（x²）的值域為B；
（2）由B=[6，13]可求得）C_UB=（-∞，6）∪（13，+∞），A=（a-2，a+2），A⊆C_UB，從而可求得實數a的取值范圍．

解答：解：∵A={x||x-a|＜2}，
∴-2＜x-a＜2，
∴a-2＜x＜2+a
∴A=（a-2，a+2）
∵x∈[1，9]，故0≤log₃x≤2，
∴f（x）=（2+log₃x）∈[2，4]，
∴f（x²）=2+log3x2，x²∈[1，9]，x∈[1，3]，
∴函數g（x）=[f（x）]²+f（x）的定義域為[1，3]，
又g(x)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3，
令t=log₃x，則0≤t≤1，
∴g（x）∈[6，13]，即B=[6，13]，
（2）∵C_UB=（-∞，6）∪（13，+∞），
A⊆C_UB，A=（a-2，a+2）
∴a+2≤6或a-2≥13．
∴a≤4或a≥15

點評：本題考查函數的值域，著重考查對數函數的性質與復合函數的性質，考查交、并、補集的混合運算，綜合性強，屬于難題．