Question

若不等式組

x≥0 x+3y-4≥0 3x+y-4≤0

，所表示的平面區域被直線y=kx+

4

3

分成面積相等的兩部分，則實數k的值為

7

3

．

Answer 1

分析：根據題意作出題中不等式組表示的平面區域，得到如圖所示的△ABC及其內部．直線y=kx+

4

3

一定經過點（0，

4

3

），由三角形面積公式及其性質，得到當直線經過BC的中點時平面區域被直線分為面積相等的兩部分．由此結合直線的斜率公式加以計算，可得滿足條件的k值．

解答：解：作出不等式組

x≥0 x+3y-4≥0 3x+y-4≤0

表示的平面區域，
得到如圖所示的△ABC及其內部，
其中A（0，

4

3

），B（1，1），C（0，4）
由圖可知，直線y=kx+

4

3

恒經過點A（0，

4

3

），
當直線y=kx+

4

3

經過BC的中點D（

1

2

，

5

2

）時，
平面區域被直線分為面積相等的兩部分．
當x=

1

2

，y=

5

2

時，代入直線的方程，可得k=

7

3

．
故答案為：

7

3

點評：本題給出一元二次不等式組表示的平面區域被直線分成面積相等的兩部分，求直線的斜率之值．著重考查了一元二次不等式組表示的平面區域、直線的斜率公式和簡單的線性規劃等知識，屬于中檔題．