Question

已知函數 f（x）=

1

4

x²-

1

2

（x∈R），g（x）=lg

3-x

3+x

（-3＜x＜3）
（1）分別判斷函數f（x）和g（x）的奇偶性；
（2）設函數h（x）=f（x）+g（x），問：函數h（x）在區間（-2，2）上是否有零點？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數奇偶性的定義即可作出判斷；
（2）函數h（x）=f（x）+g（x），計算函數值h（0），h（-2），得h（0）h（-2）＜0，根據零點存在定理可知∴函數h（x）在區間（-2，0）上有零點．從而函數h（x）在區間（-2，0）上有零點．

解答：解：（1）知f（x），g（x）的定義域關于原點對稱，
∵f（x）=

1

4

x²-

1

2

，
∴f（-x）=

1

4

（-x）²-

1

2

=

1

4

x²-

1

2

=f（x），
∴函數f（x）為偶函數．
∵g（x）=lg

3-x

3+x

，∴g（-x）=lg

3+x

3-x

=-lg

3-x

3+x

=-f（x），
∴函數g（x）為奇函數．
（2）函數h（x）=f（x）+g（x），
∴h（0）=f（0）+g（0）=-

1

2

+lg1=-

1

2

＜0，
h（-2）=f（-2）+g（-2）=

1

2

+lg5=

1

2

＞0，
∴函數h（x）在區間（-2，0）上有零點．
從而函數h（x）在區間（-2，0）上有零點．

點評：本題考查函數定義域的求解及函數奇偶性的判斷，考查函數零點的判定定理．定義是解決函數奇偶性的基本方法．