Question

11．設F₁（-c，0），F₂（c，0）是橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂有公共焦點F₁、F₂，（F₁、F₂分別為左、右焦點），它們在第一象限交于點M，離心率分別為e₁和e₂，線段MF₁的垂直平分線過F₂，則$\frac{{{e_2}-{e_1}}}{{{e_1}{e_2}}}$的值為（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $3\sqrt{2}$
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 設雙曲線C₂的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}$=1（a₂，b₂＞0）．a₁=a．由題意可知：F₁F₂=F₂M=2c，由定義可得：F₁M+F₂M=2a₁，F₁M-F₂M=2a₂，可得：a₁-a₂=2c，于是$\frac{{a}_{1}}{c}-\frac{{a}_{2}}{c}$=2，即可得出．

解答 解：設雙曲線C₂的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}$=1（a₂，b₂＞0）．a₁=a．
由題意可知：F₁F₂=F₂M=2c，
又∵F₁M+F₂M=2a₁，F₁M-F₂M=2a₂，
∴F₁M+2c=2a₁，F₁M-2c=2a₂，
兩式相減，可得：a₁-a₂=2c，
∴$\frac{{a}_{1}}{c}-\frac{{a}_{2}}{c}$=2，∴$\frac{1}{{e}_{1}}$-$\frac{1}{{e}_{2}}$=2．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的定義標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．