Question

函數y=a^x+1-3（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則

2

m

+

1

n

的最小值為（　　）

• A、6
• B、8
• C、10
• D、12

Answer 1

分析：最值問題長利用均值不等式求解，適時應用“1”的代換是解本題的關鍵．函數y=a^x+1-3（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，
知A（-1，-2），點A在直線mx+ny+1=0上，得m+2n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的變換構造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．

解答：解：由已知定點A坐標為（-1，-2），由點A在直線mx+ny+1=0上，
∴-m-2n+1=0，即m+2n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

2

m

+

1

n

=(

2

m

+

1

n

)(m+2n)= 

2m+4n

m

+

m+2n

n

=2+

4n

m

+

m

n

+2≥4+2•

n m • 4m n

=8，
當且僅當n=

1

4

，m=

1

2

時取等號．
故選B．

點評：均值不等式是不等式問題中的確重要公式，應用十分廣泛．在應用過程中，學生常忽視“等號成立條件”，特別是對“一正、二定、三相等”這一原則應有很好的掌握．當均值不等式中等號不成立時，常利用函數單調性求最值．也可將已知條件適當變形，再利用均值不等式，使得等號成立．有時也可利用柯西不等式以確保等號成立，取得最值．