Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n，在數列{b_n}中，b₁=1，它的第n項是數列{a_n}的第b_n-1（n≥2）項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）是否存在常數t使數列{b_n+1}為等比數列？若存在求出t的值，并求出數列{b_n}的通項公式，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求證：

1

b1

+ 

1

b2

+ …+

1

bn

＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據數列遞推式，再寫一式，兩式相減，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）先確定b_n=a_bn-1=2b_n-1+1（n≥2），從而可得b_n+1=2（b_n-1+1），由此可得結論及數列{b_n}的通項公式；
（III）先證明

1

bn+1

＜

1

2bn

，再求和，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：由已知，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
n=1時，a₁=S₁=3，也滿足上式
∴a_n=2n+1
（Ⅱ）解：由已知b_n=a_bn-1=2b_n-1+1（n≥2）
∴b_n+1=2（b_n-1+1）
∴{b_n+1}是以2為首項，2為公比的等比數列
∴存在實數t=1使數列{b_n+1}為等比數列，且b_n+1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ-1
（III）證明：∵b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺¹-1-2（2ⁿ-1）=1＞0，∴b_n+1＞2b_n，
∵b_n=2ⁿ-1≥1，∴

1

bn+1

＜

1

2bn

∴T_n=

1

b1

+ 

1

b2

+ …+

1

bn

＜

1

b1

+ 

1

2b1

+ …+

1

2bn-1

=

1

b1

+ 2(

1

b1

+ …+

1

bn-1

)
即T_n＜

1

b1

+ 2(Tn-

1

bn

)
∴T_n＜

2

b1

-

1

bn

=2-

1

2n-1

＜2

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查不等式的證明，恰當放縮是關鍵．