Question

【題目】如圖，射線和均為筆直的公路，扇形區域（含邊界）是一蔬菜種植園，其中、分別在射線和上.經測量得，扇形的圓心角（即）為、半徑為1千米.為了方便菜農經營，打算在扇形區域外修建一條公路，分別與射線、交于、兩點，并要求與扇形弧相切于點.設（單位：弧度），假設所有公路的寬度均忽略不計.

（1）試將公路的長度表示為的函數，并寫出的取值范圍；

（2）試確定的值，使得公路的長度最小，并求出其最小值.

Answer 1

【答案】⑴，其中，⑵當時，長度的最小值為千米..

【解析】試題分析：

⑴由切線的性質可得OS⊥MN.則SM=，SN=， 據此可得，其中.

⑵ 利用換元法，令，則， 由均值不等式的結論有：，當且僅當即時等號成立，即長度的最小值為千米.

試題解析：

⑴因為MN與扇形弧PQ相切于點S，所以OS⊥MN.

在OSM中，因為OS=1，∠MOS=，所以SM=，

在OSN中，∠NOS=，所以SN=，

所以，

其中.

⑵ 因為，所以，

令，則，

所以，

由基本不等式得，

當且僅當即時取“=”.

此時，由于，故.

答：⑴，其中.

⑵當時，長度的最小值為千米.