Question

假設位于正四面體ABCD頂點處的一只小蟲，沿著正四面體的棱隨機地在頂點間爬行，記小蟲沿棱從一個頂點爬到另一個頂點為一次爬行，小蟲第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一點，每二次爬行又由其所在頂點等可能地爬向其它三點中的任意一點，如此一直爬下去，記第n（n∈N^*）次爬行小蟲位于頂點A處的概率為p_n．
（1）求p₁，p₂，p₃的值，并寫出p_n的表達式（不要求證明）；
（2）設，試求S_n（用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據小蟲沿棱從一個頂點爬到另一個頂點為一次爬行，小蟲第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一點，每二次爬行又由其所在頂點等可能地爬向其它三點中的任意一點，可求出p₁，p₂，p₃的值，從而可猜想出p_n的表達式；
（2）根據p_n的表達式，利用分組求和法以及二項式定理的逆用、二項式系數的和從而可求出所求．
解答：解：（1）p₁=0，p₂=，p₃=（1-p₂）=，p₄=（1-p₃）=
猜想：p_n=[1-（-）^n-1]
（2）
=（++…+）+[（-）¹+（-）²+…（-）ⁿ]
=（+++…+）+[（-）+（-）¹+（-）²+…（-）ⁿ]
=•2ⁿ+（1-）ⁿ-1
=2^n-2+（）^n-1-1
點評：本題主要考查了等比數列的通項，以及二項式系數的性質，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．