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在正四面體ABCD中，點Q在線段AD上運動，當
QB
•
QC
取得最小值時，點Q的位置位于（　　）
分析：設
AQ
=t
AD
，則
QB
=-t
AD
+
AB
，
QC
=-t
AD
+
AC
，利用數量積公式，化簡，再配方，即可求得結論．
解答：解：設
AQ
=t
AD
，則
QB
=-t
AD
+
AB
，
QC
=-t
AD
+
AC

∴
QB
•
QC
=（-t
AD
+
AB
）•（-t
AD
+
AC
）=t2
AD
2-t（
AD
•
AC
+
AD
•
AB
）+
AB
•
AC

設|
AB
|=a，則
QB
•
QC
=a2[（t-
1
2
）2+
1
4
]
當t=
1
2
時，
QB
•
QC
取得最小值，即點Q的位置位于AD的中點．
點評：本題考查向量的數量積運算，考查學生的計算能力，正確利用數量積公式是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在正四面體ABCD中，E、F分別是BC、AD中點，則異面直線AE與CF所成的角是
 
．（用反三角值表示）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知有關正三角形的一個結論：“在正三角形ABC中，若D是BC的中點，G是三角形ABC內切圓的圓心，則
AG
GD
=2”．若把該結論推廣到正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），則有結論：“在正四面體ABCD中，若M是正三角形BCD的中心，O是在正四面體ABCD內切球的球心，則
AO
OM
=
3
3
”．

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科目：高中數學 來源： 題型：

某同學使用類比推理得到如下結論：
（1）同一平面內，三條不同的直線a，b，c，若a⊥c，b⊥c，則a∥b，類比出：空間中，三條不同的直線a，b，c，若a⊥c，b⊥c，則a∥b；
（2）a，b∈R，a-b＞0則a＞b，類比出：a，b∈C，a-b＞0則a＞b；
（3）以點（0，0）為圓心，r為半徑的圓的方程是x2+y2=r2，類比出：以點（0，0，0）為球心，r為半徑的球的方程是x2+y2+z2=r2；
（4）正三角形ABC中，M是BC的中點，O是△ABC外接圓的圓心，則
AO
OM
=2，類比出：在正四面體ABCD中，若M是△BCD的三邊中線的交點，O為四面體ABCD外接球的球心，則
AO
OM
=3．
其中類比的結論正確的個數是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

在正四面體ABCD中，點E為棱AD的中點，則異面直線AB與CE所成角的大小為
arccos
3
6
arccos
3
6
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在正四面體ABCD中，E，F分別為BC，AD的中點，則異面直線AE與CF所成角的余弦值是
 
．

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