Question

已知c為常數，s²=[（x₁-）²+（x₂-）²+…+（x_n-）²]，s_c²=[（x₁-c）²+（x₂-c）²+…+（x_n-c）²]．證明：s²≤s_c²，當且僅當c=時，取“=”．

Answer 1

證明：∵=，
∴s²=[（x₁-）²+…+（x_n-）²]=[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-2（x₁+x₂+…+x_n）+n]=[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-n²]，
s_c²=[（x₁-c）²+（x₂-c）²+…+（x_n-c）²]=[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-2c（x₁+x₂+…+x_n）+nc²]，
∴s_c²-s²=²-（x₁+x₂+…+x_n）+c²
=²-2c•+c²=（-c）²≥0．
∴s_c²≥s²，當且僅當=c時取“=”．
分析：證明s_c²≥s²，可證明s_c²-s²≥0．因此應用方差公式進行變形得到完全平方式即可得到大于等于0．
點評：本題考查學生會求一組數據的平均數、方差．學生證明時，掌握作差是比較大小的常用手段．