Question

已知c為常數，s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，s_c²=

1

n

[（x₁-c）²+（x₂-c）²+…+（x_n-c）²]．證明：s²≤s_c²，當且僅當c=

.

x

時，取“=”．

Answer 1

分析：證明s_c²≥s²，可證明s_c²-s²≥0．因此應用方差公式進行變形得到完全平方式即可得到大于等于0．

解答：證明：∵

.

x

=

x1+x2+…+xn

n

，
∴s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-2

.

x

（x₁+x₂+…+x_n）+n

.

x

2]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-n

.

x

²]，
s_c²=

1

n

[（x₁-c）²+（x₂-c）²+…+（x_n-c）²]=

1

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-2c（x₁+x₂+…+x_n）+nc²]，
∴s_c²-s²=

.

x

²-

2c

n

（x₁+x₂+…+x_n）+c²
=

.

x

²-2c•

.

x

+c²=（

.

x

-c）²≥0．
∴s_c²≥s²，當且僅當

.

x

=c時取“=”．

點評：本題考查學生會求一組數據的平均數、方差．學生證明時，掌握作差是比較大小的常用手段．