Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

3

，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交于A、B兩點，M是橢圓C上異于A、B的任意一點，直線MA交直線l：x=9于G點，直線MB交直線l于H點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試探求

FG

•

FH

是否為定值？若是，求出此定值，若不是說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的離心率為

1

3

，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，確定幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）設M，A，B的坐標，求出G、H的坐標，利用M在橢圓上及向量的數量積公式，化簡即可得到結論．

解答：解：（1）由題意得

c a = 1 3 a-c=2

，∴

c=1 a=3

…（2分）
∴b²=a²-c²=8
∴橢圓C的方程為：

x2

9

+

y2

8

=1．…（4分）
（2）設M，A，B的坐標分別為M（x₀，y₀）、A（-3，0）、B（3，0），
則直線MA的方程為：y=

y0

x0+3

(x+3)…（6分）
令x=9得G(9，

12y0

x0+3

)，同理得H(9，

6y0

x0-3

)．…（8分）
∵M在橢圓上，∴

x02

9

+

y02

8

=1，∴

y

2 0

=8(1-

x 2 0

9

)．…（10分）
∴

FG

•

FH

=(8，

6y0

x0-3

)•(8，

12y0

x0+3

)=64+

72y02

x02-9

=64+

72•8(1- x 2 0 9 )

x02-9

=0．
∴

FG

•

FH

為定值0．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，正確求向量的數量積是關鍵．