Question

已知函數(shù)f（x）=[2sin（x+

π

3

）+sinx]cosx-

3

sin²x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若任意x∈[0，

5

12

π]，使不等式恒f（x）＞m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正弦公式和二倍角的三角函數(shù)公式，化簡(jiǎn)整理得f（x）=2sin（2x+

π

3

），再由三角函數(shù)周期公式即可算出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得當(dāng)x∈[0，

5

12

π]時(shí)，f（x）的最小值為-1，而不等式f（x）＞m恒成立，說(shuō)明m要小于f（x）的最小值，由此即得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=[2sin（x+

π

3

）+sinx]cosx-

3

sin²x
=（2sinx+

3

cosx）cosx-

3

×

1-cos2x

2

=sin2x+

3

×

1+cos2x

2

-

3

×

1-cos2x

2

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π；
（2）∵0≤x≤

5π

12

，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

7π

6

，可得sin（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]
因此，f（x）=2sin（2x+

π

3

）的值域?yàn)閇-1，2]
∵不等式恒f（x）＞m對(duì)于x∈[0，

5π

12

]恒成立，
∴m小于f（x）的最小值，可得m＜-1，
由此可得實(shí)數(shù)n的取值范圍是（-∞，-1）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)式，求函數(shù)的最小正周期和值域，著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí)，屬于中檔題．