Question

如右圖，棱長為1的正方體ABCD－ABCD中，P為DD中點，O、O、O分別是

面AC、面BC、面AC的中心。

（1）求證：BO⊥PA；

（2）求異面直線PO與OO所成角的余弦值；

（3）求PO的長。

Answer 1

證明：以D為坐標原點，DA、DB、DD所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系D—xyz。

則A（1，0，0），B（1，1，1），P（0，0，），O（，，0），

∴=（－，－，－1），=（1， 0，－）。

∴·=－×1－×0－1×（－）=0。∴⊥。∴BO⊥PA。

（2）∵O（，，1），O（，1，），

∴＝（0，，－）。又＝（，，－），設與夾角為，

∴cos＝＝＝＝。

∴異面直線PO與OO所成角的余弦值為。

（3）解：∵P（0，0，），O（，1，），∴||==，故PO的長為