Question

設P是以F₁，F₂為焦點的雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1上的動點，則△F₁PF₂的重心的軌跡方程是

 

．

Answer 1

分析：設點P（m，n ），則 

m2

16

-

n2

9

=1設△PF₁F₂的重心G（x，y），則由三角形的重心坐標公式可得x=

m-5+5

3

，y=

n+0+0

3

，解出m、n的解析式代入①化簡可得所求．

解答：解：由雙曲線的方程可得 a=4，b=3，c=5，∴F₁（-5，0），F₂（5，0）．
設點P（m，n ），則 

m2

16

-

n2

9

=1  ①．設△PF₁F₂的重心G（x，y）（y≠0），則由三角形的重心坐標公式可得
x=

m-5+5

3

，y=

n+0+0

3

，即 m=3x，n=3y，代入①化簡可得

9x2

16

-y2=1(y≠0)，故△PF₁F₂的重心G的軌跡方程是

9x2

16

-y2=1(y≠0)，
故答案為

9x2

16

-y2=1(y≠0)．

點評：本題考查用代入法求點的軌跡方程的方法，三角形的重心坐標公式，找出點P（m，n ） 與重心G（x，y） 的坐標間的關系是解題的關鍵．