Question

【題目】一袋中有大小、形狀相同的2個白球和10個黑球，從中任取一球．如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該球不再放回，另補一個白球放到袋中．在重復次這樣的操作后，記袋中的白球個數為．

（1）求；

（2）設，求；

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）根據的取值以及概率，即可容易求得數學期望；

（2）求得當時，以及時的概率，則問題得解；

（3）對第次白球個數的數學期望分為第次取出來的是白球，或者黑球進行討論，即可證明.

（1）∵或，

∴，，

∴．

（2）∵當時，，

當時，第次取出來有個白球的可能性有兩種：

第次袋中有個白球，顯然每次取出球后，球的總數保持不變，

即袋中有個白球，個黑球，第次取出來的也是白球的概率為；

第次袋中有個白球，第次取出來的是黑球，由于每次總數為12個，

故此時黑球數為個，這種情況發生的概率為；

∴，

∴綜上可知，

（3）∵第次白球個數的數學期望分為兩類情況：

第次白球個數的數學期望為，由于白球和黑球的總數為12，

第次取出來的是白球的概率為，

第次取出來的是黑球的概率為，此時白球的個數為，

∴

即．