Question

15．已知等差數列{a_n}的公差d≠0，它的前n項和為S_n，若S₅=70，且a₁，a₇，a₃₇成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數列的通項公式和前n項和公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由（1）得${S_n}=2{n^2}+4n$，從而$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$，由此利用裂項求和法能求出數列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n項和．

解答 解：（1）因為數列{a_n}是等差數列，
所以a_n=a₁+（n-1）d，${S_n}=n{a_1}+\frac{{n（{n-1}）}}{2}d$． …（1分）
依題意，有$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{5}=5{a}_{1}+10d=70}\\{（{a}_{1}+6d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+35）}\end{array}\right.$，…（3分）
解得a₁=6，d=4．    …（5分）
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=4n+2（n∈N^*）．   …（6分）
（2）由（1）可得${S_n}=2{n^2}+4n$．           …（7分）
所以$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{2{n^2}+4n}}=\frac{1}{{2n（{n+2}）}}$=$\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$．     …（9分）
所以${T_n}=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{{{S_{n-1}}}}+\frac{1}{S_n}$
=$\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{3}}）+\frac{1}{4}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+\frac{1}{4}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+\frac{1}{4}（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}}）+\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$…（11分）
=$\frac{1}{4}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$
=$\frac{3}{8}-\frac{1}{4}（{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}}）$．   …（12分）

點評 本題考查數列的通項公式及前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．