Question

已知某飛機飛行中每小時的耗油量與其速度的立方成正比．當該機以a公里/小時的速度飛行時，其耗油費用為m元（油的價格為定值）．又設此機每飛行1小時，除耗油費用外的其他費用為n元．試求此機飛行l公里時的最經濟時速及總費用．

Answer 1

分析：設最經濟的時速為x公里/小時，依題意，設1小時耗油費用為y₁（元），由已知，耗油量與其速度的立方成正比，則耗油費用也與速度的立方成正比，因此可設y1=kx3；又由已知，當x=a時，y₁=m，從而可得y1=

mx3

a3

．飛行1小時的總費用為 

mx3

a3

+n，從而可得飛行l公里的總費用為的函數，利用基本不等式可求函數的最值，從而得結論．

解答：解：設最經濟的時速為x公里/小時，依題意，設1小時耗油費用為y₁（元），
由已知，耗油量與其速度的立方成正比，則耗油費用也與速度的立方成正比，因此可設y1=kx3，
又由已知，當x=a時，y₁=m，代入上式可求出k=

m

a3

∴y1=

mx3

a3

由題意，飛行1小時的總費用為   

mx3

a3

+n
設飛行l公里的總費用為y，則y=(

mx3

a3

+n)•

l

x

=l(

mx2

a3

+

n

x

)=l(

mx2

a3

+

n

2x

+

n

2x

)≥

3l

a

3	mn2 4

當且僅當

mx2

a3

=

n

2x

，即x=a

3	n 2m

時，ymin=

3l

a

3	mn2 4

答：最經濟的時速為a

3	n 2m

公里/小時，總費用為

3l

a

3	mn2 4

元．

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查利用基本不等式求函數的最值，解題的關鍵是根據題意，構建函數關系式．