Question

數列{

n	n

}，n=1，2，…，則數列中最大項的值為

3	3

．

Answer 1

分析：先設y=

x	x

，（x＞0），則lny=

1

x

lnx，再設F（x）=lny=

1

x

lnx，求導數F′（x）=-

1

x2

lnx+

1

x2

=

1-lnx

x2

，利用導數研究它的單調性，得出F（x）在區間[3，+∞）是減函數，在（0，2]是增函數，又由于

3	3

＞

2

，從而得出數列中最大項的值．

解答：解：設y=

x	x

，（x＞0），
則lny=

1

x

lnx，
設F（x）=lny=

1

x

lnx，
則F′（x）=-

1

x2

lnx+

1

x2

=

1-lnx

x2

，
當x≥3時，F′（x）＜0，當0＜x≤2時，F′（x）＞0，
故F（x）在區間[3，+∞）是減函數，在（0，2]是增函數，
又由于

3	3

＞

2

，
∴當x=3時，F（x）_max=F（3），從而y=

x	x

的最大值為

3	3

．
故答案為：

3	3

．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、數列的函數特性、導數等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．