Question

（2007•武漢模擬）（文）設數列{a_n}的前n項和S_n=

n

n+1

，n=1，2，3…（1）求數列{a_n}的通項公式a_n．（2）求數列{

1

an

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}的前n項和S_n=

n

n+1

可求a₁，n≥2，a_n=S_n-S_n-1，驗證n=1時是否滿足，滿足則合；
（2）由（1）求得an=

1

n(n+1)

，

1

an

=n2+n，利用分組求和的方法可求

n

i=1

1

ai

．

解答：（文） 解：（1）∵數列{ a_n}的前n項和S_n=

n

n+1

 知a₁=S₁=

1

2

又由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）
可知：a_n=

n

n+1

-

n-1

n

=

n2-(n2-1)

n(n+1)

=

1

n(n+1)

 （n≥2）又a₁=

1

2

滿足a_n=

1

n(n+1)

 （n≥2）
故數列{ a_n}的通項公式a_n=

1

n(n+1)

 （n∈N*）
（2）∵a_n=

1

n(n+1)

，則

1

an

=n（n+1）=n²+n 于是{

1

an

}的前n項之和T_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=（1+2+3+…+n）+（1²+2²+3²+…+n²）
=

n(n+1)

2

+

n(n+1)(2n+1)

6

=

n(n+1)(n+2)

3

．
數列{

1

an

}的前n項和T_n：

n(n+1)(n+2)

3

．

點評：本題考查等差數列的前n項和，考查分類討論思想與分組求和的方法，屬于中檔題．