Question

已知數列{a_n}的前n項和為，且當n≥2時，S_nS_n-1-3S_n+2=0．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若，求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）設數列的前n項和為T_n，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）本題可通過遞推公式由首項a₁求出數列的第二項和第三項．
（Ⅱ）由，用b_n表示出S_n，然后代入S_nS_n-1-3S_n+2=0中，就可以求得數列{b_n}的遞推式，通過構造即可求得其通項公式．
（Ⅲ）要證不等式成立，需先求出T_n，需要利用前面的結論求出的通項公式，然后通過放縮即可證明不等式成立．
解答：解：（Ⅰ）∵當n≥2時，s_ns_n-1-3s_n+2=0，．
∴當n=2時，，解得．
則．
當n=3時，，解得，可得．

（Ⅱ）當n≥2時，s_ns_n-1-3s_n+2=0，由得，
于是，
化簡，得b_n=2b_n-1-1，從而b_n-1=2（b_n-1-1），
∴{b_n-1}是以2為公比的等比數列．∴b_n-1=（b₁-1）•2^n-1=-2ⁿ⁺¹，b_n=-2ⁿ⁺¹+1．

（Ⅲ）由（2），得====．
∴≤．
從而，
點評：本題主要考查由遞推公式推導數列的通項公式，求數列的前n項和，在證明不等式時注意放縮法的應用．是中檔題．